此文发表于《数学通报》2014.8（P54-57）
基于六环节模式的“函数的单调性”教学设计*
李兴贵[1]
(成都师范学院数学系，四川，成都611130)
数学概念是进行数学推理、判断、证明的重要依据，是建立数学公理、定理、法则的基础.数学概念的教学在学生学习数学知识和掌握数学思想方法中显得十分重要. 笔者在文[1]中给出了数学概念学习的六环节模式：感知——想象——概括——固化——应用——结构.本文以“函数的单调性”为例，阐释如何根据概念学习的六环节模式设计教学过程，循序渐进地组织学生开展探究活动，引导学生在动手操作、独立思考、合作交流中逐步领悟函数单调性概念的本质，并让学生体会研究函数性质的一般方法.为使读者更好地理解这一设计的特点，特邀请人民教育出版社章建跃先生进行点评.
一、课堂教学目标
函数单调性是函数基本性质之一，在学完函数的概念之后学习. 本课的教学目标是：
1．能通过一次函数、二次函数，说明函数的变化趋势.
2．能借助具体函数的图象直观，经历符号化过程，抽象出函数的单调性概念.
3．会判断函数的单调性．
二、教学重点、难点
教学重点：函数单调性概念.
教学难点：对定义中的关键词“任意”的理解.
三、教学过程设计
1．活动一——感知：生活中的变化趋势
(1)某市某天的气温变化曲线图
问题1：讨论温度随着时间的变化而变化的趋势。（上升？下降？）
（2）大家能再举出一些类似的生活事例吗？
师生活动：学生可能会列举商品总价与商品数量的关系、速度与路程的关系等等。教师引导学生讨论，感知函数的三种表示法在描述“变化趋势”时各自的特点（例如，图象表示很直观）.
教师讲解：在生活中，很多变量的变化是有规律的，了解这种变化规律，对我们的生活很有帮助.如果我们已经得到了一个运动变化着的事物中变量之间的函数关系，那么研究清楚函数的变化规律，就能把握事物的变化规律。例如上面的温度随时间的变化而变化的趋势，用函数的语言就可以表示为：随着自变量t的变化，函数值T的变化趋势。这就是我们今天要研究的函数的单调性.
设计意图：使学生从整体上把握问题，明确研究函数单调性的必要性.
http://www.today.ks5u.com2.活动二——想象：函数图象的变化趋势及其表述
问题2:分别作出函数y=x+1和y=x2的图象,并回答下列问题：
（1）这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
（2）函数y=x2在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
师生活动：学生可以从作图过程中直观体会上升、下降的变化趋势，整体把握概念.
设计意图：使学生通过作图、观察，结合图像上点的运动变化趋势，想象函数值随自变量变化而变化的趋势.
完成解答后，教师引导学生思考：如何将函数图像的“变化趋势”用数学语言来刻画？
3.活动三——概括：定义函数的单调性
问题3：你能给函数的单调性下个定义吗？
师生活动：学生分小组合作学习，教师参与讨论、引导.在活动一、活动二的基础上，通过小组合作探讨，估计能给出图形语言和文字语言表述的一般结论：
| 在区间D内 | 在区间D内 |
图象 |
|
|
图象特征 | 从左到右，图象上升 | 从左到右，图象下降 |
数量特征 | y随x的增大而增大 | y随x的增大而减小 |
教师引导得出直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增，右边的函数在区间D上单调递减.
追问：你能将“y随x的增大而增大”翻译成更加精确的数学符号语言吗？
师生活动：将“y随x的增大而增大”翻译成“当
时，都有
”，这对于学生有较大困难，也是本节课的难点，因此这里需要安排小组合作讨论.讨论过程中，教师要视情况给予问题引导：
（1）回顾活动二的描点、作图过程，你如何理解y随x的增大而增大？
（2）在表格中，从图象上任取两点，比较这两点的自变量与函数值的大小关系，你能得出什么结论？
（3）一般地，如果函数在区间D上单调递增，那么在区间D上，当自变量从x1增大到x2时，相应的函数值有什么关系？
（4）类似的，如果函数在区间D上单调递减，那么在区间D上，当自变量从x1增大到x2时，相应的函数值有什么关系？
（5）你能给函数的单调性下一个严格定义吗？
（6）阅读教科书，你下的定义与教科书一致吗？你觉得自己的定义有哪些优点和不足？
设计意图：通过逐步递进的问题，从图象语言、文字语言逐步过渡到符号语言，使学生理解函数单调性的本质.
估计学生独立给出函数单调性定义仍有困难，所以让学生通过阅读教材，反思自己给出的定义，从而加深对定义的理解.
4.活动四——固化：单调性概念的辨析
问题4：函数单调性的定义中有哪些关键词？如何理解？
师生活动：学生分组讨论，然后全班交流，最终要从定义中圈出如下关键词：区间
，任意，都有.
追问1：若区间内有两点
时，有
，能否推出
是单调递增函数？
师生活动：分组讨论，构造反例，引导学生深入理解自变量取值的“任意性”.
追问2：你对函数单调性还有哪些新的理解？你能举例说明吗？
师生活动：引导学生讨论、总结，得出如下结论：
（1）函数的单调性是函数在某个区间上的局部性质，区间是前提；
（2）x1，x2有三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定.
设计意图：通过上述问题串，要达到如下几个目的：
（1）让学生学会数学阅读的基本技巧和方法，学会圈点勾画，咬文嚼字；
（2）引导学生剖析关键词的含义，逐步形成数学阅读理解的方法；
（3）使学生了解辨析概念的基本思路：一是关键词的理解；二是特例、反例的构造；三是语言转换，揭示概念的内涵和外延，理解数学概念的多元联系表达.
5.活动五——应用：学以致用，巩固提高
任务1：完成教材例1.
例1下图是定义在[－5，5]上的函数
的图象，根据图象说出函数
的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数.
2
-4
2
1
5
4
3
1
-1
-2
-1
-5
-3
-2
o
x
3
师生活动：由学生独立完成，然后提出如下问题
单调地将区间可否写成[－5，－2）∪[1，3）？
通过讨论得出：[－5，－2）∪[1，3）不是一个区间，不能这样表达.
设计意图：让学生掌握利用定义判断函数单调性的基本方法，以及书写单调区间的注意事项.
任务2：完成例2.
例2试判断函数
在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明.
预设：学生用定义证明的过程中，可能对概念的使用呈现不严谨、书写表达不规范的问题. 不直接选用教材的例题的原因是由易到难，在于突出判断函数单调性的基本步骤.
师生活动：引导学生讨论、分析
（1）除了图象法判定函数单调性还有什么方法？
（2）如何用定义法表述判定函数单调性？
（3）用定义判定函数单调性的有哪些必要步骤？
师生共同完成证明过程和分析解答上述讨论问题，得出用定义判断函数单调性的基本步骤.
证明：函数 在（0，＋∞）上是增函数
取值
设
是(0,＋∞)上的任意两个值,且
，
则
作差变形
定号
又
，故
，
下结论
则
，即：
因此，函数 在（0，＋∞）上是增函数 .
设计意图：引导学生总结得出用定义证明函数单调性的基本步骤.
课堂训练（学生独立完成并反思总结）：让学生用此方法完成教材例2.
6.活动六——结构：回顾反思，形成结构
预设：学生通过任务串，可以学会课堂小结和自我评价与反馈.
学生活动：学生分组讨论、并回顾总结，完成任务1-3.
任务1：完成思考题
（1）在上面证明中，如何理解
的任意性？
（2）函数
在R上单调递增，那么，
的符号有什么变化规律？若单调递减，又该如何?
任务2：完成课堂练习，及时反馈.
课本P32页练习1-4.
任务3：回顾小结本节课的学习收获.
1、函数单调性的定义（三种语言表述，并分析关系及优劣）；
2、判定函数单调性：
（1）方法：图象法，定义法；
（2）用定义证明函数单调性的基本步骤：取值，作差变形，定号，下结论.
3、研究函数性质的一般方法；（教材的“探究”活动）
4、概念学习的“六环节”基本过程及其启示.
设计意图：重视课堂小结教学，达到引导学生学会小结、养成反思回顾的习惯.达到以下目的：
（1）回顾本节课学习的重点、难点，建构新的知识结构体系，逐步养成反思习惯；
（2）理解、掌握本节课知识点考查的基本题型及其解决方法；
（3）引导学生认识、掌握概念学习的基本过程，学会迁移延伸，掌握概念、公式、定理等数学概念的一般性学习方法及研究函数性质的一般思路和方法.
最后：布置课后作业（略）.
对《基于六环节模式的“函数的单调性”教学设计》的点评（人民教育出版社 章建跃）：
本节内容，学生将学习用研究函数性质的一般方法研究函数的单调性，体会并掌握数学概念学习的基本过程和方法. 基于六环节的教学设计在实施中效果较好，具有一定的推广价值和指导意义.
一、课标要求
课标在必修模块1“函数的基本性质”中，对“单调性”提出如下要求：
①通过已经学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.
②对于指数、对数函数，要求探索并了解函数的单调性.
从上述要求可见，课标要求以具体函数（特别是二次函数）为载体，理解函数的单调性；同时，课标强调了通过函数图象的直观，让学生了解判断函数单调性的有关原理和方法.因此，课标强调本节课的内容旨在让学生学习研究函数性质一般方法，体会函数变化的规律. 本节课的设计体现了课程标准的要求。
二、金博宝188,金博宝188app教材的理解
函数的单调性是学生在掌握了函数概念等基础知识后，学习函数的第一个重要性质，主要刻画了函数在某区间上图象的变化趋势（上升或下降），为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用.同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础.而且在解决解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用.所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用.
教材的设计，通过特殊函数一次函数、二次函数的作图、理解变化的特例入手，研究函数的单调性，学习和掌握研究函数性质的一般方法，然后从图象入手推广到一般情况，再抽象成准确的数学定义.鼓励学生探究，借用数形结合的思想，类比联想，通过几何直观和归纳推理，从特殊到一般概括抽象出数学概念.理解单调性的定义，掌握函数单调性判断的基本步骤.教材充分强调引导学生的思维参与数学概念的形成过程，参与探究活动和合作学习，改变学习方式. 上述教学设计符合教材呈现逻辑，充分把握了教材并超越了教材.
三、金博宝188,金博宝188app教学目标
对于“课程目标”和“课堂教学目标”的关系，全国组织过大讨论，但是目前还是有没有搞清楚的现状.数学教育的“目标域”可以表示为一个从抽象到具体的连续体，我们可以把这个连续体区分为三个层次的目标[2]：
课程目标——宏观目标，是需要付出大量的时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果，这类目标通常包含着多方面的、更为具体的目标.目前，我国课程标准都采用了“三维目标”的方式来呈现.例如，“发展自主发现、探究实践的能力”，“提高灵活应用知识的能力”，“体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值”，“培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯，感受学习、探索发现的乐趣与成功感”等，都是课程目标的例子.
单元目标——中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化.例如，“学生能利用函数的性质求方程的近似解”，“能解释函数与方程的联系”都是一个单元目标，是“学生能用函数的思想方法解决问题”的具体化.它们描述了一种学生行为和该行为所针对的内容主题.
教学目标——微观目标，即课堂教学目标.这一层次的目标专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中发挥作用.
本节课的教学目标的确定妥当.
当前，在制定课堂教学目标时，混淆目标的三个层次的现象很普遍，仍需要引起广大教师和教研员的高度重视.
四、金博宝188,金博宝188app重点与难点
函数的单调性是函数的基本性质，是本节课的重点，也是继函数概念后，又一个核心的数学概念，重要概念.
难点在于数学形式化概念的形成，这个困难主要发生在概念的形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解.本节课抓住了教学关键环节，教学时给学生创造了金博宝188,金博宝188app的思考的时间和操作的空间，突破了难点.利用单调性的定义判断函数的单调性的难点可能会出现在比较的思路上，一方面是问题解决的“为什么”，另一方面是比较大小的能力有限，教学时实现了帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤. 因此，学习重要数学概念的基本过程对于学生的概念学习非常重要，六环节的教学设计对于突出重点、突破难点十分必要.同时，先降低例2的难度，有利于学生突破判断思路.
五、金博宝188,金博宝188app教学过程：
为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上主要采用了“六环节”数学概念学习的基本过程设计整个课堂，思路清晰，教学实施流畅，效果显著，提高了课堂教学效益，促进了教师教学方式的改变及学生学习方法的转变.在每一个环节中采用了“问题——师生活动——预设——设计意图”的过程表述，思路流畅，结构清晰，重点突出，有血有肉，清新简洁.
（1）感知与想象环节，创设情境，让学生通过观察某天的气温变化曲线图观察图像的变化趋势及生活中的变化趋势，完成学生对单调性直观上的一种整体认识，并为概念的引入提供了必要性.再通过一次函数、二次函数的变化，想象和感悟函数性质的共同特征，开展类比研究.
（2）概括、固化环节，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的认知不断提升，使得学生对概念的认识层层深入.此阶段，学生完全掌握函数性质研究的一般方法、数学概念辨析的基本策略和数学概念的多元联系表达.在处理突破难点的问题上，值得借鉴。主要是通过数学过程的充分揭示，让学生的思维积极跟进，得出数学本质的问题。
（3）在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格要求，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力.
（4）结构环节，通过反思回顾，弄清楚联系和知识结构，突出了学生建构新知结构体系的重要意义和有利于学生养成良好的学习习惯.同时让学生掌握数学概念学习的基本过程：感知——想象——概括——固化——应用——结构.
概念学习的六个基本过程，是对数学概念所特有的思维形式——“过程和对象的双重性”（Sfard,1991,1994）[3]进行切实分析的基础上提出的，它比较真实的反映了学生学习数学概念过程中的思维活动．其中的“感知”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“感知”让学生亲身体验与感受概念的直观背景以及概念产生的最初形态.“想象”阶段是学生对“感知”活动过程进行压缩、内化的过程，是由直观感知向概括抽象过渡的必然环节.“概括”阶段是通过对“感知”、“想象”中所形成的各种具体属性进行区分、抽象与综合，认识到概念的本质属性，并对其赋予形式化的定义及符号表示，使其达到精致化而成为一个具体的对象实体，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动．“固化”、“运用”阶段是通过正反例析和运用概念分析问题和解决问题的过程，以进一步巩固和加深对概念本质特征的理解，概念内涵与外延的认识，从而活化概念.“结构” 阶段的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式[4]．
参考文献：
[1]，[4]李兴贵，王富英.数学概念学习的基本过程，数学通报[J]，2014.2:5-8.
[2] 章建跃. “方程的根与函数的零点”的教学，中国数学教育[J],2012.1-2.
[3] 李士錡. PME:数学教育心理[M]. 上海：华东师范大学出版社，2001:110.
[5] 中学数学课程教材研究开发中心 编著,普通高中课程标准实验教材数学A版必修1[M], 北京：人民教育出版社，2012.4：27-32.
[1]*本文是四川省名师专项课题《数学阅读任务教学框架体系的建构》研究成果之一.
作者简介1：李兴贵（1974—），男，成都师范学院数学系，副教授，主要从事中小学数学教育教学研究.
